Ориентированные точки пространства

Чуть раньше мы "на пальцах", при помощи "самолетиков-точек" попытались объяснить, как возникает поле кручений. Можно даже сказать, что попытались представить. Теперь надо изложить этот же вопрос более научным языком, ибо аналогии и примеры не передают существенных особенностей. Элементарное вращение может происходить только в одной плоскости. Например, вращение вокруг оси z в привычном нам понимании есть поворот в плоскости x^y. Но, строго говоря, это только в трёхмерной геометрии поворот в плоскости однозначно выражается через поворот вокруг оси. Для пространства-времени можно спросить, «а почему не вокруг оси t?» Описание вращения через плоскость, в которых находится изменяющийся угол, однозначно конкретизирует данное движение. Сложные виды вращений (поворот вокруг нескольких осей) раскладываются на сумму элементарных движений в разных плоскостях. В привычной нам геометрии пространства мы используем 3 координаты х, у, z. Трёх пространственных координат и времени t достаточно, чтобы иметь возможность однозначно обозначить любое событие в любой точке пространства в любой момент времени. Последняя фраза на научном языке звучит как "пространство событий". Для построения новой геометрии окружающего нас пространства с учётом ориентаций мы должны использовать уже 10 независимых размерностей: четыре линейные (трансляционные) координаты x, y, z, t и шесть угловых: углы в плоскостях между осями x^y, x^z, y^z и в плоскостях x^t, y^t, z^t. Можно сказать по-другому: из трёх привычных нам пространственных измерений мы получили десятимерное «пространство событий», т.е. набор из десяти параметров для каждого отдельного события "в данном месте в данное время".

Ранее мы "на пальцах", при помощи "самолётиков-точек" и их крена, рыскания и тангажа попытались объяснить, как возникает 10-мерное пространство событий. Теперь в нашем построении вместо самолётиков-точек будем использовать "ориентированную точку" или «единичный координатный базис».

На первый взгляд вроде бы всем знакомые оси координат. Но если говорить более точно – это всего-навсего одна ориентированная точка "0". Просто она никуда не повернута. Вектора её единичного базиса направлены вдоль осей координат. Возможна и другая ситуация:

Та же самая точка "0", только повернутая относительно осей координат. обратите внимание - оси координат показаны пунктиром, а стрелками - ориентация точки. Если кому-то из читателей будет понятнее: стрелки - это оси "самолетика". Как именно повернута это "ориентированная точка" = "самолетик" – по двумерному рисунку не сообразишь. Необходимо делать проекции концов векторов единичного базиса на соответствующие плоскости x^y, x^z, y^z и вычислять углы проекций.

По аналогии с приведенным выше "классическим математическим подходом по "введению в теорию" прямой, плоскости, пространства" попробуем из этих "ориентированных точек"="единичных базисов" собрать прямую (оси координат пунктиром уже не рисуем).

Из обычных никуда не повернутых точек получаем простую банальную прямую.

А вот следующие случаи поинтереснее.

Поворот в плоскости y^z.

Поворот в плоскости x^z.

Для лучшего представления крученых прямых можно привести следующую наглядную аналогию – перекрученная нитка. Можно даже смоделировать: к нитке приклеить полоски-стрелочки, как зубья у расчески. С одной стороны, нитка прямая, т.е. без изгибов, с другой – она может быть вся закручена. Если у некрученой нитки все стрелочки направлены допустим вниз, то при закручивании они уже будут менять свое направление. Если устремить толщину нитки к нулю, то и получим крученую прямую с первого рисунка (y^z). Кручение в плоскости x^z со второго, равно как и аналогичное в плоскости x^y,  аналогией наглядно не передать.

Надеемся, что читатель и без рисунка сможет понять (а некоторые – даже представить), что возможно сочетание кручений в двух и в трех плоскостях. Так же легко понять, что кручение вдоль прямой может быть разным:

Неравномерное кручение в плоскости x^z.

Как уже отмечалось, элементарное вращение может происходить только в плоскости, например x^y. Очевидно, что вращение может быть только по часовой стрелки или против, иными словами правое и левое. Но для введения понятия о двух типах «квантов поля» этого недостаточно. Если посмотреть через прозрачные часы насквозь, то стрелки будут вращаться в обратную сторону. При строго научных выкладках двусмыслия нет, т.к. все оговаривается (правый или левый базис, увеличение или уменьшение координаты и т.п.) Да и понятие «квант» не случайно взято в кавычки. Мы не знаем, что есть мельчайшая неделимая порция этого поля. Нам в нашей работе будет удобно использовать термин "частица", сразу взяв его в кавычки. Поэтому в дальнейшем будем использовать этот термин, помня о том, что мы допустили весьма большую вольность исключительно ради простоты изложения.

Итак, для простоты мы будем оперировать термином частица, а для понимания правого и левого типов вращения рассмотрим не вращение в плоскости - "часы", а винтовую спираль или резьбу. Для пояснения попробуем привести несколько рисунков.

Возможно, по рисунку трудно понять, но это всего один оборот вокруг оси х.

Дальше посмотрим на табличку спиралей с разным направлением и степенью кручения. Можно сказать, что эти спирали - это огибающая вектора с предыдущего рисунка.

Одно из основных свойств спирали – неизменность при любых пространственных преобразованиях (кроме зеркальных). Правое остаётся правым, а левое левым. В отличие от круга часов, который при взгляде с другой стороны из правого становится левым. Превращение правого в левое происходит при "выворачивании" спирали, когда шаг из положительного (через ноль) стал отрицательным; когда "вектор развития" спирали меняет направление. Иными словами, когда сжимаем спираль, она уменьшает шаг, но сохраняет тип. В момент шага через «0» спираль моментально меняет тип.