Ориентированные точки пространства

Как в науке, в привычной геометрии дается описание пространства? За основу берётся «её величество точка», и эта точка не имеет размеров. Из множества точек формируется прямая, из множества прямых — плоскость, из множества плоскостей — пространство. Но точка — эта абстракция. Она в отличие от реального предмета не имеет ориентации «по определению». А как можно учесть ориентацию? Очень просто: использовать "ориентированную точку" или «единичный координатный базис».

На первый взгляд вроде бы всем знакомые оси координат. Но если говорить более точно – это всего-навсего одна ориентированная точка "0". Просто она никуда не повернута. Вектора её единичного базиса направлены вдоль осей координат. Возможна и другая ситуация:

Та же самая точка "0", только повернутая относительно осей координат. обратите внимание - оси координат показаны пунктиром, а стрелками - ориентация точки. Если кому-то из читателей будет понятнее: стрелки - это оси "самолетика". Как именно повернута это "ориентированная точка" = "самолетик" – по двумерному рисунку точно сказать невозможно.

Из точек формируется прямая. Попробуем сформировать прямую из множества наших «ориентированных точек» (оси координат пунктиром уже не рисуем).

Из обычных никуда не повернутых точек получаем простую банальную прямую.

А вот следующие случаи поинтереснее. Что будет, если собирая точки в прямую мы чуть чуть по-разному их повернём?

Поворот в плоскости y^z.

Для лучшего представления крученых прямых можно привести следующую наглядную аналогию – перекрученная нитка. Можно даже смоделировать: к нитке приклеить полоски-стрелочки, как зубья у расчески. С одной стороны, нитка прямая, т.е. без изгибов, с другой – она может быть вся закручена. Если у некрученой нитки все стрелочки направлены допустим вниз, то при закручивании они уже будут менять свое направление. Если устремить толщину нитки к нулю, то и получим крученую прямую.

Теперь надо разобраться с «квантом кручения». Мы не знаем, что есть мельчайшая неделимая порция этого поля. Нам в нашей работе будет удобно использовать термин "частица", сразу взяв его в кавычки. Поэтому в дальнейшем будем использовать этот термин, помня о том, что мы допустили весьма большую вольность исключительно ради простоты изложения. Очевидно, что вращение может быть только по часовой стрелки или против, иными словами правое и левое. Но при поверхностном описании можно «намудрить». Если посмотреть через прозрачные часы насквозь, то стрелки будут вращаться в обратную сторону. На первый взгляд «правое» это или «левое» зависит от того, с какой стороны посмотреть. Но при строго научных выкладках двусмыслия нет, т.к. все оговаривается. А представить «на пальцах» лучше не часами или юлой, а винтовой спиралью или той же перекрученной ниткой.

Дальше надо понять крайне важное свойство — как правое может стать левым и наоборот. Давайте посмотрим на табличку спиралей с разным направлением и степенью кручения. Можно сказать, что эти спирали - это огибающая вектора с предыдущего рисунка.

Одно из основных свойств спирали – неизменность при любых пространственных преобразованиях (кроме зеркальных). Правое винт остаётся правым, а левый - левым. В отличие от круга часов, который при взгляде с другой стороны из правого становится левым. Превращение правого в левое происходит при "выворачивании" спирали, когда шаг из положительного (через ноль) стал отрицательным; когда "вектор развития" спирали меняет направление. Иными словами, когда сжимаем спираль, она уменьшает шаг, но сохраняет тип. В момент шага через «0» спираль моментально меняет тип.

Связаться с автором Telegram